rsa加密算法理论
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。<font color="#24bf71">一、RSA算法 :</font><br><br>
<font color="#24bf71">首</font><font color="#000000">先, 找出三个数, p, q, r, <br>
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数...... <br>
p, q, r 这三个数便是 private key <br><br>
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... <br>
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了..... <br>
再来, 计算 n = pq....... <br>
m, n 这两个数便是 public key <br><br>
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n.... <br>
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t), <br>
则每一位数均小於 n, 然後分段编码...... <br>
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), <br>
b 就是编码後的资料...... <br><br>
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), <br>
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :) <br><br>
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... <br>
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r...... <br>
所以, 他必须先对 n 作质因数分解......... <br>
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q, <br>
使第三者作因数分解时发生困难......... <br><br><br>
<定理> <br>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), <br>
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, <br>
则 c == a mod pq <br><br>
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下: <br>
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m <br>
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) <br>
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........ <br><br>
<证明> <br>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 <br>
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 <br>
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z), <br>
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq <br><br>
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, <br>则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p <br>a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q <br>所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 <br>即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq <br>=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq <br><br>
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, <br>则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) <br>=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q <br>=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q <br>=> q | c - a <br>因 p | a <br>=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p <br>=> p | c - a <br>所以, pq | c - a => c == a mod pq <br><br>
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上 <br><br>
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, <br>则 pq | a <br>=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq <br>=> pq | c - a <br>=> c == a mod pq <br>Q.E.D. <br><br><br>
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... <br>
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, <br>
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... </font><br>
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<font color="#24bf71">二、</font><font color="#24bf71">RSA 的安全性</font><br>
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<font color="#24bf71">RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分
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