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rsa加密算法理论

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发表于 2004-11-26 20:01:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
4 x/ ^, g9 U4 w5 V
# d% r+ J$ W+ Q4 F4 M2 `[PP]先, 找出三个数, p, q, r,
$ H# r. P5 ^5 d* T2 v' [& z# V" l/ I 其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
6 l7 x& I0 Y5 X6 up, q, r 这三个数便是 private key

" i8 {- a+ K- L接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
8 B! ^" _3 |, G8 E) I这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
$ T* v) a/ ~3 J 再来, 计算 n = pq.......
3 g# B U0 c( U4 Im, n 这两个数便是 public key

2 U) h V2 g3 R% R3 ~( F8 l 编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
$ }9 D Z; [5 N: a: l如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
3 l* s# h6 v; k 则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
1 F) B4 l& Q6 v l, Q; _" j$ J 接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
. y; S" ~: q$ ]% ^, `$ O: G b 就是编码後的资料......

+ G, m1 K! W: t6 S U4 q# l- W解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
+ U* T# P* s3 K" H( { 於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

^$ y b; S+ _ d, v 如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
/ Y) }! W5 h) B+ l. } 他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
- p$ T8 j* J! J7 u3 L) _所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
! t- P( A) C2 B7 d" s" `; M( {要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
* E+ Q+ N$ F* s% P4 ^2 @# ` 使第三者作因数分解时发生困难.........


9 {" m: N, X* N4 M6 m( L<定理>
- R+ h5 i9 D8 {若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
5 k. z0 x8 e# g/ @- w% i) h a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
3 S) N7 b, `! { 则 c == a mod pq

# n8 a S" u$ ?& v9 q7 u 证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
" M t. H$ v8 F- xm 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
3 G5 X0 C) ~. B6 \4 `" g7 k(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
2 u$ z6 C: @6 E, v+ i 运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

9 h: W7 v( }' }1 U* D" p1 D5 ` <证明>
, h |& |, W+ d6 p 因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
+ }* \$ q- g: @4 r 因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
, Y, {$ H& I& `, s# n( _(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
7 ]% B/ A& s' b n5 ], S所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

* [7 b( a0 ?4 w, p8 n% l1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

4 v: U# {4 E4 c U5 s: I 2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

! J' ^/ Q; {& X C0 _/ s 3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

3 V; N; `4 h7 i* f 4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


0 C/ r8 [, u) N- h K7 C3 g: V 这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
0 i* W5 ]6 W7 a, W3 K7 ]0 E 但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
8 t4 d8 {3 ]' h, a! S所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

! j1 g: ^. t1 h! Z K7 }
) C" Q9 x5 c( Z# |二、RSA 的安全性
/ X+ u/ ^. Y8 t5 z
v2 ~$ T" z' p; D( n4 i[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分
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