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rsa加密算法理论

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发表于 2004-11-26 20:01:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
/ t0 P2 H- f7 j h: I
( ^4 E% b$ S6 ?+ @ [PP]先, 找出三个数, p, q, r,
; @! E% R0 }* `2 V3 w其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
` a: }5 M6 T9 y6 G2 Op, q, r 这三个数便是 private key

$ Z. S' N3 e" s9 Z# \' |" c' T接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
# p- |* U- c+ y4 U: E u% p' g$ J这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
7 R) q/ Y q0 }0 H6 w 再来, 计算 n = pq.......
* [ e/ a. m! b5 m* { m, n 这两个数便是 public key

l' K. [5 i9 b# C+ Y1 K6 t$ R 编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
. X. G# m/ R2 O. r! f 如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
% u; @- R6 j. k7 M$ n+ {' j' ]6 w5 P则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
1 F E7 ~" ?4 I2 @接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
7 P% _$ N$ X; F0 v8 G! C b 就是编码後的资料......

; q6 S6 O' A& p0 f5 U" A 解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
/ M3 ~9 N5 D: Y) i. u. e 於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

9 Y# [$ H5 [1 V- o. i+ z( R如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
( s! X6 t) m* L; r, A0 N 他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
0 n8 f7 y# `' s( O% T所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
4 n$ c. d H+ x2 K8 ~ 要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
8 B0 D* U' }3 \# j! p 使第三者作因数分解时发生困难.........


" L* Y5 D4 p7 B0 G6 `4 ^<定理>
& o$ L3 R" _; V 若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
1 b2 q) A( |# d! n" D" K; B a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
9 i, D3 q$ M3 o% n# x3 ~& O 则 c == a mod pq

* y# W: P! G9 q' j0 ]& \0 x/ X证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
* C$ F6 H v: ~m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
' k' W( T3 k0 w8 D. R (换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
+ j! X/ Y+ j1 g- e, {5 u运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

* C+ v, g0 T& @& R4 `) J<证明>
( u; E9 P# s" q: Q7 E 因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
) B& C" Z2 `$ Y0 e4 i2 K2 O1 U$ ?因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
4 F% K# b, L: B: M6 @(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
$ s/ \; s0 n( y6 K9 L所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

! i/ l' ~4 b7 J8 u2 `" d6 N, |' v 1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

( W" r- C$ e! i3 R2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

: _0 O% z$ x- O3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

% Z0 L! l/ Z) Y! ~6 v* w; X' ^ 4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


' S v1 ~ B+ F" V% u0 d, V这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
& S, W6 s9 @0 [3 p3 R# d但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
. S0 Q6 E8 a+ c 所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

- ?6 l1 z$ G# ~% q* x
! D( y1 ] U) R 二、RSA 的安全性
; a+ ]% R3 J6 ~ O& P) k* H2 M/ ?
! t0 T6 ^( {; ~ H V6 c2 b1 v[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分
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