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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
. s0 C) D! G: S5 k5 u; L
* ]% h: O+ W6 E2 y( I4 Z
[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
( p* B1 i- V) X2 G1 K
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
2 J$ a, T: O* w- p6 U) f4 up, q, r 这三个数便是 private key
1 x, X0 g% D' d) b' c( s4 J接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
) o2 U, Q4 y0 q& m T. b3 }
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
: K$ r/ m0 ^. m# r* i
再来, 计算 n = pq.......
( P7 h% n0 v# Z4 r/ w% J
m, n 这两个数便是 public key
; ?5 P5 d9 p7 ~( I* ^
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
# G2 N4 ]. m, z. A7 A4 b
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
2 x' D% i7 e3 d, V2 W* w6 k* f则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
. P- O9 d2 V8 k2 J接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
- _- y: e2 Y3 S+ ?3 Z; t& I: M" Vb 就是编码後的资料......
" z' f9 A3 S# K& Q0 t解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
8 p: J$ }0 P" K) M6 ]於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
, b7 ]( h$ u2 p
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
* G) P; s# @% F3 G- |他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
# U: S: l! y3 m; b, F& ]所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
) L1 P3 `& P% H) g+ {4 [
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
3 f% @+ J( _! O使第三者作因数分解时发生困难.........
" H8 W5 j/ |" M1 Z. s( L. G. z
<定理>
3 Q. l; b# Q( P若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
+ B' u5 }9 s: g, g" ea 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
! f z9 _- N8 C9 X& S; g) ` g则 c == a mod pq
/ u& M) ]4 W% G证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
; N; Q3 o5 W1 C5 Fm 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
: I2 E7 h' J7 [: k(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
+ K" T7 Y" h" t, w) b# o7 K运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
- l/ x) i# z! m2 a+ T+ z- c
<证明>
v- A( k" X: \9 W因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
- k- F4 C' d# d# J8 h" _: ^1 Q' `因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
+ d* G$ \" Z# w/ }, ~$ w
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
- g5 n9 U4 ?7 ], e( H$ L
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
% `; w# S4 y0 d$ |/ B: C1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
7 ~# m c$ y3 Q6 r+ h2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
6 @. X8 y( a& a' j! p' ^3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
2 M2 ^2 G8 }( p w+ g( X$ v! t4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
5 }& W6 w$ t; b' a: ]1 e$ e
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
$ T' \) T1 N% b* H+ T" {! d
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
/ w' P- x- X3 q4 k
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
! m) b, \9 F0 _) ~; ^6 g, x2 _8 i
8 P" w7 d/ P1 M% n5 _* t
二、RSA 的安全性
" N# T2 R7 W6 H6 j
% Q1 h: T! y2 t/ @
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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发表于 2004-11-26 20:01:38
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