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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
2 ~3 Y) m9 @) m1 s( f; q# q
8 b. \) E) `: R$ j4 M9 }. j[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
! S3 e+ J0 g5 e. D" ~# ?
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
. O" t- u3 J( h+ }0 u- C) [p, q, r 这三个数便是 private key
- u( x9 [) d* K p& \$ B V接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
6 K6 w9 B; M n8 x* u! T
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
7 P/ ^6 y: V( A$ s5 j @/ Z
再来, 计算 n = pq.......
N" K6 v8 B' w$ O! O/ F5 h# X+ y8 \m, n 这两个数便是 public key
Y5 z/ I8 x2 K. m( L编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
" U* b6 c: ` q( M u如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
- Z$ ^$ v5 ?4 I: Z
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
$ _" }: \/ Y& i/ a' _
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
, D% P9 D. h' ?! e7 Xb 就是编码後的资料......
; D2 s( C: M5 @7 X5 r% I6 P( `
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
7 H; t6 p: r# S
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
: d8 K7 Z2 a' p% L$ N; [如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
4 _0 z* s: k# H
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
5 P, j0 k9 e( o
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
3 z) }2 D# d2 F( D
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
6 X, [8 K3 c/ g9 u. n/ O4 l使第三者作因数分解时发生困难.........
% V2 ]/ o. P4 z1 \<定理>
7 v. h+ M% h m8 D4 {
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
1 X, X' A9 f7 L: Wa 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
9 z& K& y- w* u, A0 a, k则 c == a mod pq
. j# f/ G; [$ Q! g6 r; m5 y! X
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
, r3 [& J5 X0 W% t
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
+ h, c. {) R* [9 K8 Z! x9 j$ B
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
6 u! G9 d) ]$ _; I
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
9 |" J2 }6 r8 b" n. m- T/ l7 @8 U<证明>
* ^: E1 G ]; `4 h" b) u \
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
v2 d. e$ g! ?1 |' O' `. W& ~因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
2 Z0 h+ n% M' J3 m1 r(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
: \2 N# b% `0 a7 G+ |! r5 M
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
$ U$ e2 X; h' _4 a' M1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
) M; [$ c8 C3 c5 g9 s2 F
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
, ?, a- ?& v! y$ f3 e D* Z5 G
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
6 T( J3 `8 n4 P+ {0 n* v4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
; }. F; T. U5 R1 @, q4 o4 ^
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
- s9 D8 w; h2 Q2 h) q: y
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
5 h' N( H0 a) Z7 x% m所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
0 T* _* |6 K# e$ g. ]
. ^" V# }' a) s! E. E2 A3 }二、RSA 的安全性
0 ?) a& C% c; E, i, C
$ s. B9 a; F* _! }
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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发表于 2004-11-26 20:01:38
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